Trigonometria

Trigonometria (do grego trigōnon “triângulo” + metron “medida”) é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais.

Foram os babilônios os primeiros a usá-la.

Círculo trigonométrico

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente, cotangente, entre várias outras, dependendo dos lados considerados na proporção.

Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

Seno

Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.

Como o seno é esta projeção e o raio do círculo trigonométrico é igual a 1, segue que $\forall x\in {\mathbb {R}},-1\leq \operatorname {sen}(x)\leq 1,$ ou seja, a imagem do seno é o intervalo fechado $[-1,1].$

Cosseno

Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.

Como o cosseno é esta projeção, e o raio do círculo trigonométrico é igual a 1, segue que, $\forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{cos}(x)\leq1,$ ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado $[-1,1].$

Tangente

Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta reta tangente ao círculo trigonométrico, o valor da tangente trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta que contém o raio do círculo trigonométrico para o ângulo considerado. Para avaliar este valor, deve-se compará-lo com o raio do círculo trigonométrico que, por definição, é igual a 1, de preferência quando este raio se encontra sobre a parte superior do eixo ortogonal vertical. Observe que, enquanto o seno e o cosseno são sempre menores do que o raio do círculo trigonométrico e, portanto, menores do que 1, a tangente trigonométrica pode ser tanto menor quanto maior do que 1.

Relações

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo $\alpha$ são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a $\alpha$ e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de $\alpha.$ Este número é chamado de seno de A e é escrito como $\operatorname{sen}\alpha$ Similarmente, pode-se definir :

o cosseno de $\alpha:$ é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $\alpha$ em relação ao comprimento da hipotenusa;
a tangente trigonométrica de $\alpha :$ é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo $\alpha$ em relação ao comprimento do cateto adjacente;
a cotangente de $\alpha:$ é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $\alpha$ em relação ao comprimento do cateto oposto – é o inverso da tangente;
a secante trigonométrica de $\alpha:$ é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo $\alpha$ – é o inverso do cosseno;
a cossecante de $\alpha:$ é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo $\alpha$ – é o inverso do seno.

Triângulo Retângulo.

Seja o triângulo ABC, retângulo em A, têm-se, pelas definições de seno e cosseno:

Círculo trigonométrico, com a posição das funções seno, cosseno, tangente e cotangente explicitadas.

\operatorname{sen} \alpha = {\text{cateto oposto} \over \text{hipotenusa}} = {\text{c} \over \text{a}}

\qquad \cos \alpha = {\text{cateto adjacente} \over \text{hipotenusa}} = {\text {b} \over \text{a}}

Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cossecante.

No triângulo ABC acima, a tangente de $\alpha$ pode ser calculada através da razão entre o cateto oposto e o adjacente, como se observa em sua definição. Porém ela também pode ser obtida pela razão entre seno e cosseno, da seguinte forma:

\tan \alpha = {\text{cateto oposto} \over \text{cateto adjacente}} = {\text{a} . \sen\alpha \over \text{a}.\cos\alpha } = {\operatorname{sen} \alpha \over \cos \alpha}

Secante e Cossecante no círculo trigonométrico unitário

Da mesma forma que a tangente, a cotangente de $\alpha$ pode ser definida como uma razão entre catetos, nesse caso como a razão entre os catetos adjacente e oposto. Portanto, a cotangente pode ser expressa através da razão entre cosseno e seno como também sendo o inverso da tangente.

$\cot \alpha = {\text{cateto adjacente} \over \text{cateto oposto}} = {\text{a} . \cos \alpha \over \text{a} . \sen \alpha}= {\cos \alpha \over \operatorname{sen} \alpha} = {1\over\tan\alpha}$

A secante e a cossecante ficam definidas por serem o inverso do cosseno e do seno, respectivamente. Portanto, a secante e a cossecante de $\alpha$ podem ser expressas da seguinte forma:

\qquad \sec \alpha = {1 \over \cos \alpha} = {\text{hipotenusa} \over \text{cateto adjacente}}

\qquad \csc \alpha = {1 \over \operatorname{sen} \alpha} = {\text{hipotenusa} \over \text{cateto oposto}}

Relógio de sol

O círculo unitário

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos.

Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sido tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.

Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras estabelece que “A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso c e b) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou a)”. Assim: a² = b² + c² . Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.

Aplicações da trigonometria

Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais descrevem as ondas sonoras e luminosas.

Campos que fazem uso da trigonometria ou funções trigonométricas incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia, meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.

Identidades trigonométricas

Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como “identidades trigonométricas”. Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras.

Identidades triangulares

As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos $\widehat{A},$
$\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ e lados de comprimentos $a,$
$b$ e $c,$ como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo $\widehat{A}$ é o de comprimento $a,$ o lado oposto ao ângulo $\widehat{B}$ é o de comprimento $b$ e o lado oposto ao ângulo $\widehat{C}$ é o de comprimento $c.$